Más carriles no implica menos presas: una pequeña simulación matemática al respecto
Frecuentemente, al transitar por carreteras, nos topamos con congestiones vehiculares. Estas pueden ser el resultado de accidentes o bloqueos en la ruta, pero con frecuencia son congestiones habituales, aquellas que se forman regularmente dependiendo del horario. Surge entonces una interrogante común: ¿Cómo podemos resolver este problema? Muchos sugieren soluciones aparentemente directas, como ampliar el número de carriles o ensanchar las calles. Sin embargo, la realidad es más compleja.
La gestión del tráfico vehicular implica una multiplicidad de factores complejos, y el desarrollo de soluciones eficaces comienza con la comprensión profunda de ciertas estrategias, a través de la aplicación de modelos matemáticos. En la columna de hoy, hablaremos de este tema. Desarrollaremos un modelo matemático sencillo para demostrar cómo se estudia el tráfico, y los retos que presenta. Emplearé lo que se conoce como ecuaciones por diferencias, una forma discreta de las ecuaciones diferenciales, para ilustrar cómo estos enfoques pueden aplicarse en el contexto de la gestión del tráfico.
En el tráfico vehicular, seguramente han observado cómo un puente estrecho o la convergencia de dos carreteras puede crear lo que conocemos como un ‘cuello de botella'. Esta situación se caracteriza por una sección específica donde el flujo de vehículos se reduce significativamente. Imaginemos, por ejemplo, un observador que visualiza un cuello de botella tal como se muestra en el esquema siguiente
En el diagrama, hay un cuello de botella que llamaremos A, en el cual entran a vehículos por minuto. Para poder simularlo, describamos esta situación matemáticamente de la siguiente manera,
Permítanme explicar esta fórmula. A(t) representa la cantidad de vehículos presentes en el cuello de botella en un momento dado, mientras que A(t+1) indica la cantidad de vehículos en el mismo punto, pero un minuto después. Podemos interpretar la fórmula de la siguiente manera: la cantidad de vehículos en el minuto siguiente es igual a los vehículos actuales en el cuello de botella, menos una proporción m (que varía entre 0 y 1) de vehículos que salen del cuello de botella, más los vehículos a(t) que entran en él.
Para demostrar de manera práctica esta teoría, desarrollé un modelo en JavaScript que permite simular este modelo. Imaginemos un escenario específico: al inicio, 50 vehículos (a(0) = 50) entran en el cuello de botella, y después, no ingresan más vehículos durante el resto de la simulación. Además, consideremos que la tasa de salida es de m = 0.5, lo cual implica que un vehículo puede pasar cada dos minutos. Esta configuración nos ayudará a visualizar y entender mejor el impacto de un cuello de botella en el flujo vehicular. Veamos la simulación,
Observen lo siguiente en nuestra simulación: si no ingresan más vehículos a la zona A después de los iniciales 50, se necesitarán aproximadamente 9 minutos para que todos pasen, asumiendo que no hay más ingresos. Experimenten con el ‘slider' de la simulación: si lo ajustan a 0, notarán que ningún vehículo pasa y, por tanto, los 50 vehículos iniciales permanecerán siempre en A. Sin embargo, al mover el ‘slider' a 1, verán que todos los 50 vehículos pasan en tan solo un minuto. De esta observación, se deduce una regla general bastante intuitiva: en cualquier sección de una ruta, ya sea una intersección o un puente, si no pueden pasar tantos vehículos como los que entran, inevitablemente se formará una presa. Ahora, veamos qué sucede si continúan entrando 50 vehículos a la zona A cada minuto,
Observen lo que sucede cuando fijamos la tasa de salida m en 0.5: en tan sólo unos minutos, se forma una larga fila de 100 vehículos que se mantiene constante. Les invito a experimentar con el ‘slider' de la simulación. Verán que al disminuir el valor de m, es decir, reducir la tasa de salida de los vehículos, la cantidad de vehículos en espera aumenta proporcionalmente. Este ejercicio visual demuestra de manera práctica cómo la capacidad de una sección vial para manejar el flujo vehicular afecta directamente la formación de presas.
Este ejemplo sencillo ilustra una realidad que a menudo experimentamos en situaciones de tráfico con cuellos de botella. Ahora, avancemos hacia un escenario más complejo, que refleja con mayor precisión las complejidades del tráfico real. Les invito a observar detenidamente el siguiente esquema, que modela esta situación más avanzada. Al examinarlo, consideren cómo los diferentes factores interactúan y afectan el flujo de vehículos.
En esta nueva situación, nos enfrentamos a dos puntos de conflicto, A y B, en los cuales B no opera de manera independiente a A. Los vehículos que salen de A ingresan directamente a B, y adicionalmente, B recibe vehículos de otra fuente, que designamos como b. Esta configuración es un reflejo muy común de lo que ocurre en la red de calles de una ciudad.
No quiero complicarles con las fórmulas específicas para esta situación, pero sepan que se construyen de manera similar a la del primer ejemplo, con una fórmula dedicada a cada cuello de botella. Para los entusiastas de los detalles técnicos, el código completo está disponible en las referencias al final de este artículo, y allí están las fórmulas.
Ahora, metámonos en la simulación para ver cómo se desenvuelve esta dinámica en un entorno más complejo y realista
En nuestra simulación, comenzamos permitiendo la entrada de 50 vehículos al inicio, y luego no permitimos más ingresos. Observen cómo en el punto A, más vehículos pueden pasar por minuto en comparación con B. En A, verán que el número de vehículos en espera disminuye gradualmente, pero en B, aunque inicialmente aumenta, eventualmente también empieza a disminuir. Esto sucede bajo los parámetros m1 = 0.5 y m2 = 0.1. Les animo a experimentar con los ‘sliders' para ajustar estos valores: m1 controla la proporción de vehículos que pasan por A, y m2 la proporción para B.
En otra variante de esta simulación, dejamos que ingresen de manera constante 10 vehículos por minuto sólo a A, y estos luego se mueven hacia B, pero no permitimos que ingresen vehículos directamente a B. Este escenario simula una situación de tráfico donde un flujo constante de vehículos se enfrenta a diferentes capacidades de paso en dos puntos sucesivos
Observen cómo, en nuestra simulación, la congestión en el punto A se reduce gradualmente y se estabiliza en torno a los 20 vehículos. En cambio, en el punto B, la congestión aumenta y eventualmente se equilibra en unos 50 vehículos. Esto resulta en una situación donde tenemos una cola de tráfico más corta en A y una más extensa en B, con congestión en ambos puntos.
Ahora, planteemos un escenario interesante: ¿qué pasaría si creamos un atajo que permita que la mitad de los vehículos que entran en A pasen directamente a B? Esta modificación podría alterar significativamente el equilibrio de tráfico entre A y B. Vamos a explorar este escenario en la simulación para ver los efectos prácticos de tal cambio.
Consideren este ajuste interesante en nuestra simulación: ahora, una parte de los vehículos que inicialmente se dirigen hacia A toman un atajo, evitando el cuello de botella en A y llegando directamente a B. Este cambio podría tener un impacto significativo en cómo se distribuye el tráfico entre los dos puntos. ¿Cómo afectará esto a las presas de tráfico en A y B? Veamos los resultados en la simulación matemática para descubrirlo
Noten cómo, al inicio, la proporción de vehículos que toman el atajo (c) es de 0, lo que nos sitúa en la misma dinámica observada anteriormente. Sin embargo, al aumentar gradualmente c, podrán ver que, aunque la dinámica en A experimenta ciertos cambios, la congestión en B termina siendo similar, alcanzando un equilibrio constante. En otras palabras, a pesar de que los conductores y conductoras puedan creer que están siendo astutos al evitar A (tal vez con una mirada de orgullo), el beneficio en términos de tiempo es en realidad marginal. Al final, se trata más de una sensación de avanzar unas posiciones que de una ganancia real de tiempo. ¿Les resulta esto familiar?
Les invito a explorar con todos los ‘sliders' de la simulación y a reflexionar sobre cómo estos resultados se aplican a las situaciones que han observado en la vida real. Esta interacción no solo facilitará una mejor comprensión del modelo, sino que también les ayudará a reconocer cómo se manifiestan los patrones de tráfico en su día a día.
La razón por la que afirmo en el título que "más carriles no implica menos embotellamientos" es porque el flujo vehicular es intrínsecamente complejo. Al resolver un cuello de botella en un punto, como agregar más carriles o atajos, simplemente trasladamos el problema a otro lugar. Si evaluamos la situación en su conjunto, nos damos cuenta de que no hemos solucionado realmente el problema subyacente. Por tanto, una solución efectiva al tráfico no se trata sólo de intervenciones puntuales, sino de una estrategia integral que contemple toda la red vial.
Además de lo discutido, existen otros fenómenos como el efecto ‘mirón' y la densidad vehicular, que abordé en una columna anterior y a la cual pueden acceder a través de este enlace. También hay fenómenos como la paradoja de Braess, que demuestra que la ampliación de carriles o carreteras no necesariamente reduce la congestión. Estos y otros temas los pueden revisar en un artículo adicional, que les recomiendo revisar al final.
El modelo que presento aquí es una simplificación, pero este tipo de modelos son cruciales para evaluar la efectividad de medidas antes de su implementación, evitando así costos innecesarios en infraestructura. Sin embargo, esta tarea no recae únicamente en ingenieros o ingenieras. Es vital la colaboración de expertos en matemáticas, estadística, computación y análisis de datos. Para desarrollar soluciones inteligentes y efectivas, se requieren equipos transdisciplinarios que construyan modelos complejos y apliquen diversas técnicas. Estos modelos, nutridos con datos reales, posiblemente obtenidos de videos con drones, pueden ser fundamentales para optimizar la red vial.
No obstante, es importante reconocer que enfrentamos un problema subyacente: la excesiva cantidad de vehículos. Por lo tanto, mientras trabajamos en optimizar la red vial, también debemos promover formas alternativas de transporte para reducir la densidad vehicular en las ciudades
Director Escuela de Sistemas Inteligentes
Universidad CENFOTEC
